Mijn artikel

Ruim een jaar na mijn contract in Warschau eindigde, ben ik nog steeds bezig met het artikel dat de belangrijkste resultaten van mijn onderzoek wereldkundig moet maken. Ik heb wel geprobeerd het af te maken voor mijn contract afliep, maar het resultaat was een onbegrijpelijk artikel vol fouten, dat ik nu nog steeds aan het verbeteren ben.

Ik wilde bij de onderzoekers die zich bezig houden met homotopietypetheorie, interesse wekken in realizeerbaarheidstopossen, het onderwerp waarop ik gepromoveerd ben. Homotopie gaat over de mogelijkheid om topologische ruimtes–dat zijn een zeer algemeen soort meetkundige vormen–door uitrekken en samentrekken, maar zonder te knippen of scheuren, in elkaar om te vormen. Twee topologische ruimtes zijn homotopie-equivalent als zo’n vervorming mogelijk is. Een homotope-type is een homotopie-equivalentieklasse van topologische ruimtes. Homotopietypen dienen de “essentie” van een topologische ruimte te vertegenwoordigen.

Realiseerbaarheid is een poging om constructieve wiskunde toegankelijk te maken voor klassieke wiskundigen. Het intuïtionisme van L.E.J. Brouwer vereist dat elke wiskundige waarheid door een mentale constructie word gerealiseerd. Om dit concreet te maken verving S.C.Kleene de mentale constructies door getallen en bouwde daarmee de recursieve realizeerbaarheidsinterpretatie van de rekenkunde. Wat bijzonder is aan deze interpretatie is dat de uitspraak “P(n) of niet P(n) voor elk getal n” onwaar is voor een zeker predicaat P, hoewel er geen voorbeelden bestaan van getallen waarvoor P(n) waar noch onwaar is. De effectieve topos breid dit idee verder uit. Een topos is een soort parallel wiskundig universum. In de effectieve topos schuilt achter elke vergelijking “x=y” een (mogelijk lege) verzameling van getallen die hem realiseren.

Het verband tussen homotopie en realiseerbaarheid gaat als volgt. Wanneer er een pad ligt tussen twee punten binnen een topologische ruimte dan kunnen we de ruimte zo vervormen dat de punten gelijk worden. Paden realiseren daarmee de vergelijking van hun eindpunten. Homotopietypetheorie lijkt daardoor op een realiseerbaarheid waarin de mentale constructies paden zijn in plaats van getallen. Ik kan ruimtes in een realiseerbaarheidstopos aanwijzen waar die twee soorten realiseerbaarheid samenvallen, de “modest Kan complexes”. Helaas ben ik voorlopig de enige die daarvan overtuigd is.

Het idee van modest Kan complexes was zo wild, dat ik het aanvankelijk niet in mijn onderzoeksvoorstellen durfde te zetten. Ik had op dat moment gewoon te weinig verstand van homotopie. Voor de baan in Warschau moest ik echter verder kijken om aansluiting te vinden bij de onderzoeksgroep. Omdat ik al maanden op zoek was naar een postdoc was ik bovendien een beetje wanhopig.

Ik had er eigenlijk niet op gerekend dat doorgaan in de wetenschap veel moeite zou kosten. Pas toen mijn proefschrift bij de promotiecommissie lag ontdekte ik dat de academische wereld geen gebrek aan mensen heeft en wel aan geld. Tegen de tijd dat ik daadwerkelijk mijn proefschrift moest verdedigen had ik de hoop al opgegeven en besloten de academische wereld te verlaten. Ik werd echter ineens aangenomen in Warschau op dat krankzinnige onderzoeksvoorstel.

In Warschau hebben mijn onderzoeksgroep in ik de simpliciale homotopie bestudeerd. Die theorie maakt met name in het kleine-objecten-argument en in minimale vezelingen gebruik van een paar principes uit de klassieke wiskunde die in niet realiseerbaar zijn. Als ik me niet heel erg vergis, zijn ze overbodig. De constructieve alternatieven zijn echter verschrikkelijk ingewikkeld. Daarom is het een groot probleem om duidelijk te maken dat die alternatieven niet stiekem toch afhankelijk zijn van niet realiseerbare uitspraken.

Ik heb na Warschau de academische wereld alsnog verlaten. Ik probeer nu elke week een paar uurtjes te steken in het herschrijven van mijn artikel.  Er staan een paar preprints op Arxiv en de rest van mijn werk staat op Github. Op die manier heb ik in elk geval een keer de aandacht weten te trekken van homotopietypetheorieonderzoekers. Ik zit nu te worstelen met het laatste grote bewijs. Daarna moet ik een voorbeeld toevoegen, de inleiding aanpassen en uitgebreid op fouten controleren. Ik ben daar nog wel even zoet mee.